Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）
（1）若函數f（x）在點區間[e，+∞]處上為增函數，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3，且k∈Z時，不等式 k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；
（3）n＞m≥4時，證明：（mnn）m＞（nmm）n ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+xlnx，

又函數f（x）在區間[e，+∞）上為增函數，

∴當x≥e時，f'（x）=a+1+lnx≥0恒成立，

∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，

即a的取值范圍為[﹣2，+∞）；

（2）解：因為f（x）=ax+xlnx（a∈R），

所以f'（x）=a+lnx+1f（x）在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3，

f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1

當x＞1時，x﹣1＞0，故不等式 ，

即 對任意x＞1恒成立，

令 則 ．

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

則 在（1，+∞）上單增，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即當1＜x＜x0時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，

當x＞x0時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+∞）上單增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3

（3）證明：由（2）知， 是[4，+∞）上的增函數，

所以當n＞m≥4，

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+n﹣m

因為n＞m，mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn…

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，

ln（nmnmm）＞ln（mmnnn），

nmnmm＞mmnnn，

∴（mnn）m＞（nmm）n

【解析】（1）求出函數的導數，得到a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，從而求出a的范圍即可；（2）求出函數的導數，求出a的值，得到 對任意x＞1恒成立，令 ，根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出k的最大值；（3）當n＞m≥4，得到 ，整理即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．