Question

如圖,過拋物線y²=2px(p＞0)上一定點P(x₀,y₀)(y₀＞0),作兩條直線分別交拋的線于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離;

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數.

Answer 1

分析:(1)由拋物線的方程可算出其上縱坐標為的點的橫坐標,再由拋物線的定義求出該點到焦點的距離.

(2)利用P、A、B三點的坐標可表示出直線PA、PB的斜率,因為傾斜角互補,所以斜率互為相反數,這樣可以得出y₁+y₂與y₀的關系,再利用A、B兩點的坐標表示出直線AB的斜率,利用y₁+y₂與y₀的關系可以求出直線AB的斜率.

解:(1)當y=時,x=.

∵拋物線y²=2px的準線方程為x=-,

∴由拋物線的定義得距離為-(-)=p.

(2)設直線PA的斜率為k_PA,直線PB的斜率為k_PB.

∵P、A兩點在拋物線上,

∴y₀²=2px₀,y₁²=2px₁,

    兩式相減得(y₁-y₀)(y₁+y₂)=2p(x₁-x₀).

    故k_PA==(x₁≠x₀).

    同理,可得k_AB=(x₂≠x₀).

    由直線PA、PB的傾斜角互補知k_PA=-k_PB,

    即=-,

∴y₁+y₂=-2y₀.

    故=-2.

    設直線AB的斜率為k_AB,

    由y₂²=2px₂,y₁²=2px₁,

     兩式相減得(y₂-y₁)(y₂+y₁)=2p(x₂-x₁),

∴k_AB==(x₁≠x₂).

    將y₁+y₂=-2y₀(y₀＞0)代入,得k_AB==-,

∴k_AB是非零常數.