Question

（2013•崇明縣二模）設M為平面內一些向量組成的集合，若對任意正實數λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，則稱M為“點射域”，在此基礎上給出下列四個向量集合：①{（x，y）|y≥x²}；②{（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}；③{（x，y）|x²+y²-2y≥0}；④{（x，y）|3x²+2y²-12＜0}．其中平面向量的集合為“點射域”的序號是

②

．

Answer 1

分析：根據題中“點射域”的定義對各個選項依次加以判別，可得①③④都存在反例，說明它們不是“點射域”，而②通過驗證可知它符合“點射域”的定義，是正確選項．

解答：解：根據“點射域”的定義，可得向量

a

∈M時，與它共線的向量λ

a

∈M也成立，
對于①，M={（x，y）|y≥x²}表示終點在拋物線y≥x²上及其張口以內的向量構成的區域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“點射域”；
對于②，M={（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}，可得任意正實數λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，故它是“點射域”；
對于③，M={（x，y）|x²+y²-2y≥0}，表示終點在圓x²+y²-2y=0上及其外部的向量構成的區域，
向量

a

=（0，2）∈M，但

1

2

a

=（0，1）∉M，故它不是“點射域”；
對于④，M={（x，y）|3x²+2y²-12＜0}，表示終點在橢圓

y2

6

+

x2

4

=1內部的向量構成的區域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“點射域”．
綜上所述，滿足是“點射域”的區域只有②
故答案為：②

點評：本題給出特殊定義，叫我們判斷符合題的選項，著重考查集合與元素的關系和向量的性質等知識，屬于基礎題．