Question

在(x-

2

3 x

)10的展開式中，
（1）寫出展開式含x²的項；
（2）如果第3r項和第r+2項的二項式系數相等，求r的值．

Answer 1

分析：（1）展開式的通項  T_k+1 =(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k的值，從而得到含x²的項．
（2）由 C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，可得3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，求出整數 r 的值．

解答：解：（1）展開式的通項  T_k+1 =C₁₀^Kx^10-k(-

2

3 x

)k=(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k=6．
∴含x²的項是(-1)626

C

6 10

x10-

4

3

•6=2⁶C₁₀⁶x² =13440x²．
（2）∵C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，∴r=1 或r=

5

2

．
∴r=1．

點評：本題考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，求出二項展開式的通項公式是解題的關鍵．