Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′，四邊形ABCD為正方形，AA′=2AB=2，E為棱CC′的中點．
（Ⅰ）求證：A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）設F為AD中點，G為棱BB′上一點，且BG=

1

4

BB′，求證：FG∥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求二面角G-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直四棱柱的結構特征，且底面四邊形ABCD為正方形，我們可得BD⊥AC，BD⊥AA′，我們結合線面垂直的判定定理可得BD⊥面ACEA′，進而BD⊥A′E，再由AA′=2AB=2，由勾股定理可得A′E⊥BE，再由線面垂直的判定定理，即可得到A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D為原點，DA為x 軸，DC 為y 軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出直線FG的方向向量及平面BDE的法向量，根據兩個向量的數量積為0，得到兩個向量垂直，進而得到FG∥平面BDE；
（Ⅲ）結合（Ⅱ）中結合，再由出平面GDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角G-DE-B的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）∵四棱柱為直四棱柱，
∴BD⊥AC，BD⊥AA′，AC∩AA′=A，
∴BD⊥面ACEA′．
∵A′E?面ACEA′，∴BD⊥A′E．
∵A′B=

22+12

=

5

，BE=

12+12

=

2

，A′E=

12+12+12

=

3

，∴A′B²=BE²+A′E²．∴A′E⊥BE．
又∵BD∩BE=B，∴A′E⊥面BDE．（4分）

解：（Ⅱ）以D為原點，DA為x 軸，DC為y 軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標系．
∴A′（1，0，2），E（0，1，1），F(

1

2

，0，0)，G(1，1，

1

2

)．
∵由（Ⅰ）知：

A′E

=(-1，1，-1) 為面BDE的法向量，

FG

=(

1

2

，1，

1

2

)，（6分）
∵

FG

•

A′E

=-1×

1

2

+1×1+(-1)×

1

2

=0．∴

FG

⊥

A′E

．
又∵FG?面BDE，∴FG∥面BDE．（8分）
解：（Ⅲ）設二面角G-DE-B的大小為θ，
平面DEG 的法向量為

n

=(x，y，z)，則

DE

=(0，1，1)，

DG

=(1，1，

1

2

)．
∵

n

•

DE

=0×x+1×y+1×z=0，即y+z=0，

n

•

DG

=1×x+1×y+

1

2

×z=0，即x+y+

z

2

=0．
令x=1，解得：y=-2，z=2，∴

n

=(1，-2，2)．（12分）
∴cosθ=

n • A′E

| n |•| A′E |

=

(-1)×1+1×(-2)+(-1)×2

3• 3

=-

5 3

9

．
∴二面角G-DE-B的余弦值為

5 3

9

．（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求示，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（Ⅰ）的關鍵是熟練掌握直線與平面垂直的判定及性質定理，（Ⅱ），（Ⅲ）的關鍵是建立空間坐標系，將空間中直線與平面位置關系轉化為向量夾角問題．