Question

（2010•寶山區模擬）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積為32，且底面四邊形ABCD為直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，且BC⊥AB．
（文科）：
（1）求異面直線B₁A與直線C₁D所成角大小；
（2）求二面角A₁-CD-A的大小；
（理科）：
（1）求異面直線B₁D與直線AC所成角大小；
（2）求點C到平面B₁C₁D的距離．

Answer 1

分析：（文科）（1）本題圖形中出現了同一點出發的三條兩兩垂直的線段，故可以建立空間坐標系用向量法求解，寫出要用的點的坐標，得到對應的異面直線的方向向量，根據向量所成的角得到結果．
（2）設出一個平面的法向量，根據向量垂直的條件，得到法向量的坐標之間的關系，寫出其中一個，另一個平面上的法向量可以看出法向量，根據兩個向量所成的角得到二面角．
（理科）（1）本題圖形中出現了同一點出發的三條兩兩垂直的線段，故可以建立空間坐標系用向量法求解，寫出要用的點的坐標，得到對應的異面直線的方向向量，根據向量所成的角得到結果．
（2）根據三棱錐D-B₁C₁C的體積易得，故可用等體積法求解，由于VD-B₁C₁C=VC-B₁C₁D，點D到面B₁C₁C的距離是2，三角形B₁C₁C的面積是4，又點D到線B₁C₁的距離為2

5

，故三角形DB₁C₁的面積可得，代入求出點到面的距離

解答：解：直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁體積為32，且底面四邊形ABCD為直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，故可解得此棱柱的高是4
如圖，以AB所在直線為X軸，以AD所在直線為Y軸，以AA1所在直線為Z軸建立空間坐標系，由上知A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，6，0），A₁（0，0，4），B₁（2，0，4），C₁（2，2，4），D₁（0，6，4）
（文科）：
（1）由題意

B1A

=（-2，0，-4），

C1D

=（-2，4，-4）
兩向量夾角的余弦值為

4+16

20 × 36

=

5

3

故兩直線所成的角為arccos

5

3

（2）由于面ACD是坐標平面，故其法向量可設為（0，0，1），令平面A₁CD的法向量是

n

=（x，y，z），由于

CD

=（-2，4，0），

A 1C

=（2，2，-4），
又

CD • n =0 n • A 1C =0

，故有

-2x+4y=0 2x+2y-4z=0

，令y=1，則x=2，z=1，故

n

=（2，1，1）
∴二面角A₁-CD-A的余弦的大小為

1

6

=

6

6

故二面角A₁-CD-A的大小為arccos

6

6

（理科）：
（1）由圖知

B1D

=（-2，6，-4），

AC

=（2，2，0），兩向量夾角的余弦是

8

2 2 ×2 14

=

7

7

故異面直線B₁D與直線AC所成角大小為arccos

7

7

；
（2）考察圖形，三棱錐D-B₁C₁C的體積易得，故可用等體積法求解，
由于VD-B1C1C=VC-B1C1D
由圖知，點D到面B₁C₁C的距離是2，三角形B₁C₁C的面積是4，故VD-B1C1C=

8

3

又點D到線B₁C₁的距離為2

5

，故三角形DB₁C₁的面積是

1

2

×2×2

5

=2

5

故點C到平面B₁C₁D的距離為

8

2 5

=

4 5

5

點評：本題考查異面直線所成的角和二面角及點到線的距離，本題解題的關鍵是建立坐標系，把立體幾何理論推導變化成數字的運算，這樣降低了題目的難度，但是不利于鍛煉學生的理論推導能力．