Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．若點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，則此雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A、y=±

  2

  x
• B、y=±

  3

  x
• C、y=±2x
• D、y=±3x

Answer 1

分析：點P是F₁Q的中點，O是F₁F₂的中點，利用三角形的中位線定理可得OP∥F₂Q．已知QF₁⊥QF₂，可得F₁Q⊥OP．進而得到直線F₁P的方程，即可得到點P的坐標，利用兩點間的距離公式可得|OP|，得到|QF₂|，及|QF₁|．在Rt△F₁QF₂中，利用勾股定理可得a，c的關系，即可求得雙曲線的漸近線方程．

解答：解：如圖所示，
∵點P是F₁Q的中點，O是F₁F₂的中點，
∴OP∥F₂Q．
∵QF₁⊥QF₂，∴F₁Q⊥OP．
∵OP的方程為y=-

b

a

x，
∴kF1P=

a

b

，
∴直線F₁P的方程為y=

a

b

（x+c）．
聯立

y= b a x y= a b (x+c)

，解得

x=- a2 c y= ab c

，即P（-

a2

c

，

ab

c

）．
∴|OP|=

(- a2 c )2+( ab c )2

=a．
∴|QF₂|=2a，|QF₁|=4a．
在Rt△F₁QF₂中，∵|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2，
∴（2a）²+（4a）²=（2c）²，
∴c²=5a²，
∴b²=c²-a²=4a²，
∴b=2a，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±2x．
故選C．

點評：本題綜合考查了雙曲線的標準方程及其性質、三角形的中位線定理、勾股定理、相互垂直的直線之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．