Question

4、已知α．β是平面，m．n是直線，給出下列命題
①若m⊥α，m∥β，則α⊥β
②如果m⊥α，m⊥β，則α∥β
③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n不與α相交．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．
其中真命題的個數是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

Answer 1

分析：①若m⊥α，m∥β，則α⊥β，可由面面垂直定理進行判斷；
②如果m⊥α，m⊥β，則α∥β，由面面平行的條件進行判斷；
③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n不與α相交，由線面位置關系判斷．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，則n∥α且n∥β，由線面平行的條件判斷．

解答：解：①若m⊥α，m∥β，則α⊥β，此命題正確，因為由m∥β可得β內存在一條直線l與m平行，又m⊥α，可得l⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
②如果m⊥α，m⊥β，則α∥β，此命題正確，因為垂直于同一直線的兩個平面平行；
③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n不與α相交，此命題不正確，因為在題設條件下，n與α相交，且交點不在直線m上，可以保證m，n是異面直線．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，則n∥α且n∥β此命題正確，因為由線面平行的判定定理知，面外一條直線與面內一條直線平行，可得此線與面平行．
綜上，正確命題有三個
故選C

點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，解答本題關鍵是熟練掌握線面間位置關系的判斷條件以及較好的空間想像能力．本題考查了推理論證的能力．