Question

函數f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）為定義在[0，1]上的非減函數，且滿足以下三個條件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③當x∈[0，

1

3

]時，f(x)≥

3

2

x恒成立．則f(

3

7

)+f(

5

9

)=

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）滿足的三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③當x∈[0，

1

3

]時，f(x)≥

3

2

x恒成立．我們易得f（

1

2

）=

1

2

，結合x∈[0，

1

3

]時，f(x)≥

3

2

x恒成立，可得f（

1

3

）≥

1

2

，又由f（x）為定義在[0，1]上的非減函數，可得當x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

，進而得到答案．

解答：解：∵函數f（x）滿足：f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]，則f（

1

2

）=

1

2

，
且當x∈[0，

1

3

]時，f(x)≥

3

2

x恒成立，
則f（

1

3

）≥

1

2

，
又∵函數f（x）為定義在[0，1]上的非減函數，
∴當x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

，恒成立，
故f（

3

7

）=

1

2

，f（

4

9

）=

1

2

，則f（

5

9

）=

1

2

，
則f(

3

7

)+f(

5

9

)=1
故答案為1．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，其中根據已知中，函數滿足的條件，得到當x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

恒成立，是解答本題的關鍵．