Question

已知向量

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0）（其中a＞0，b＞0，O是坐標原點），若A，B，C三點共線，則

1

a

+

2

b

的最小值為

8

．

Answer 1

分析：利用

OA

，

OB

，

OC

的坐標，結合A，B，C三點共線可求得a，b的關系，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），
∴

AB

=（a-1，1），

AC

=（-b-1，2），
∵A，B，C三點共線，
∴2（a-1）-（-b-1）=0，
∴2a+b=1．又a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（2a+b）=2+2+

4a

b

+

b

a

≥4+2

4a b • b a

=4+2×2=8（當且僅當a=

1

4

，b=

1

2

時取等號）．
故答案為：8．

點評：本題考查向量共線的坐標運算，考查基本不等式，求得是關鍵，屬于中檔題．