Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣lnx，g（x）=x2﹣ax．
（1）求函數f（x）在區間[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）；
（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1 ， h（x1）），B（x2 ， h（x2））（x1≠x2）是函數h（x）圖象上任意兩點，且滿足 ＞1，求實數a的取值范圍；
（3）若x∈（0，1]，使f（x）≥ 成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，令f'（x）=0，則x=1，

當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，f（x）的最小值為f（t）=t﹣lnt；

當0＜t＜1時，f（x）在區間（t，1）上為減函數，在區間（1，t+1）上為增函數，f（x）的最小值為f（1）=1．

綜上，當0＜t＜1時，m（t）=1；當t≥1時，m（t）=t﹣lnt

（2）解：h（x）=x2﹣（a+1）x+lnx，對于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，則x1﹣x2＜0，

則由 ，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，

變形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，

令F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+lnx，

則F（x）=x2﹣（a+2）x+lnx在（0，+∞）上單調遞增，

故 在（0，+∞）恒成立，

∴ 在（0，+∞）恒成立．

∵ ，當且僅當 時取“=”，∴

（3）解：∵ ，∴a（x+1）≤2x2﹣xlnx．

∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，

∴x∈（0，1]使得 成立．

令 ，則 ，

令y=2x2+3x﹣lnx﹣1，則由 ，可得 或x=﹣1（舍）．

當 時，y'＜0，則y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上單調遞減；

當 時，y'＞0，則y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上單調遞增．

∴ ，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．

∴t（x）在（0，1]上單調遞增．則a≤t（1），即a≤1．

∴實數a的最大值為1．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，分t≥1和0＜t＜1討論函數f（x）在區間[t，t+1]（t＞0）上的單調性，由單調性求得最小值；（2）由 ＞1，可得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，構造函數F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+lnx，可知F（x）在（0，+∞）上單調遞增，由其導函數在（0，+∞）上大于等于0恒成立求得實數a的取值范圍；（3）把f（x）≥ 變形，分離參數a，然后構造函數 ，利用導數求其最大值得答案．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．