Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （b≠0且b是常數(shù)）．
（1）如果方程f（x）=x有唯一解，求b值．
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求負數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x有唯一解 即 =x有唯一解，

∴x2+（b﹣1）x=0有唯一解，又b≠0，

∴△=（b﹣1）2=0解得b=1

（2）證明：∵由（1）得函數(shù)f（x）= ，

f′（x）= ，

當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)；

（3）解：若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，

則f′（x）= ＜0在（1，+∞）上恒成立，

且恒有意義，

故 ，即

解得：﹣1≤b＜0

【解析】（1）根據(jù)方程f（x）=x有唯一解，可得b的值；（2）求導，根據(jù)當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)；（3）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，則f′（x）= ＜0在（1，+∞）上恒成立，解得負數(shù)b的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案．