Question

設函數f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），當x＞-1，且x≠0時，證明：f_n（x）＞0恒成立．

Answer 1

分析：要證f_n（x）＞0恒成立，因為x＞-1，且x≠0，所以只需證（1+x）ⁿ＞1+nx，再用數學歸納法進行證明．

解答：證明：要證f_n（x）＞0恒成立，∵x＞-1，且x≠0，∴只需證c_n⁰+c_n¹•x+c_n²•x²+…+c_nⁿxⁿ＞1+nx，即證C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（（1+x）ⁿ＞1+nx
①當n=2時，顯然成立．
②設當n=k時成立，即 （1+x）^k ＞1+kx
則當n=k+1時有，（1+x）^k+1=（1+x）^k •（1+x）＞=（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x
也成立．
 所以對任意nn∈N，n≥2，（1+x）ⁿ＞1+nx成立，即f_n（x）＞0恒成立．

點評：本題的關鍵是將所要證明的不等式進行等價轉化，再利用數學歸納法證明，應注意數學歸納法的證題步驟．