Question

設函數f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）設n＞2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間（，1）內存在唯一的零點；
（2）設n為偶數，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，結合指數函數的性質可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，進而判斷出函數在區間上單調，分析區間兩端點的函數值符號關系，進而根據零點存在定理，可得答案．
（2）由，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，利用待定系數法結合不等式的基本性質，可得3b+c的范圍，進而求出3b+c的最小值和最大值；
（3）將n=2，根據|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，分類討論不同情況下b的取值范圍，綜合討論結果，可得b的取值范圍．
解答：解：（1）由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，
從而f_n（x）=xⁿ+x-1在（，1）單調遞增，
又f_n（1）=1＞0，f_n（）=（）ⁿ-＜（）²-＜0，
即f_n（x）在區間（，1）內存在唯一的零點．
（2）因為|f_n（-1）|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|f_n（1）|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=（b-c）+2（b+c）
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值為-4，最大值為2
（3）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c
（Ⅰ）當b≥2或b≤-2時，即≤-1或≥1，此時
只需滿足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤9
∴-≤b≤，
即b∈[-，-2]∪[2，]
（Ⅱ）當0≤b＜2時，即-1＜≤0，此時
只需滿足f₂（1）-f₂（）≤9，即b²+4b-32≤0
解得：-8≤b＜4，
即b∈[0，2）
（Ⅲ）當-2＜b＜0時，即0＜＜1，此時
只需滿足f₂（-1）-f₂（）≤9，即b²-4b-32≤0
解得：-4≤b≤8，
即b∈（-2，0）
綜上所述：b∈[-，]
點評：本題考查的知識點是零點存在定理，導數法判斷函數的單調性，待定系數法求范圍，及函數恒成立問題，是函數與導數的綜合應用，難度比較大，運算量也比較大．