Question

在直角坐標(biāo)平面上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對一切正整數(shù)n，點P_n在函數(shù)y=3x+

13

4

的圖象上，且P_n的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-

5

2

為首項，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}．
（1）求點P_n的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，n²+1）．記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為k_n，求

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

；
（3）設(shè)S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差數(shù)列{a_n}的任一項a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數(shù)，-265＜a₁₀＜-125，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得x_n，進而代入直線方程求得y_n，則點P的坐標(biāo)可得．
（2）先設(shè)出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數(shù)進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

（3）根據(jù)兩集合的特點可知S∩T=T，進而推斷出T中最大數(shù)a₁=-17．設(shè){a_n}公差為d，則根據(jù)a₁₀的范圍求得d的范圍，進而根據(jù)d=-12m求得d的值．則數(shù)列{a_n}的通項公式可得．

解答：解：（1）∵xn=-

5

2

+(n-1)×(-1)=-n-

3

2

，
∴yn=3xn+

13

4

=-3n-

5

4

．
∴Pn(-n-

3

2

，-3n-

5

4

)．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設(shè)C_n的方程為y=a(x+

2n+3

2

)2-

12n+5

4

．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

(2n+1)

-

1

(2n+3)

]，
∴

1

k1k2

+

1

k2k3

+

1

kn-1kn

=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

1

10

-

1

4n+6

．
（3）T={y|y=-（12n+5），n∈N*}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大數(shù)a₁=-17．
設(shè){a_n}公差為d，則a₁₀=-17+9d∈（-265，-125．）由此得-

248

9

＜d＜-12．
又∵a_n∈T．
∴d=-12m（m∈N*）
∴d=-24，
∴a_n=7-24n（n∈N*，n≥2）．

點評：本題主要考查了數(shù)列求和問題．考查了用裂項法求和的方法運用和對數(shù)列基礎(chǔ)知識的綜合運用．