Question

【題目】已知拋物線：，焦點，如果存在過點的直線與拋物線交于不同的兩點.，使得，則稱點為拋物線的“分點”．

（1）如果，直線：，求的值；

（2）如果為拋物線的“分點”，求直線的方程；

（3）證明點不是拋物線的“2分點”；

（4）如果是拋物線的“2分點”，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析；（4）

【解析】

（1）聯立求得點,點的坐標,從而可求得三角形面積,進而求得；

（2）由可得,則,聯立直線：與拋物線,由韋達定理可得與的關系,進而求得,從而得到直線方程；

（3）假設成立,設直線：,利用點到直線距離公式求得面積,整理可得,將直線與拋物線聯立可得,故可證明假設不成立；

（4）設直線：,聯立直線與拋物線得,則根據韋達定理可得與的關系,由也可以得到與的關系,二者結合可得,進而求解即可

解：（1）聯立得,則,,

所以,

,

所以,

即

（2）設.,不妨設,,設直線：,

因為,

所以,得,

將代入得,

所以,則,所以，

所以直線：,即

（3）設直線：（）,代入整理得,,

由韋達定理得,所以,

則點到直線：的距離,

由得,解得,

又（）,,消得,

將代入化簡得,解得,不成立,

所以點不是拋物線的“2分點”．

（4）設,,不妨設,,

設直線：,

將直線代入得,

則,

由,得,解得,

所以,消得,解得．