Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面ACE
（2）過直線BD₁是否存在與平面ACE平行的平面，若存在，請作出這個平面與長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的交線（請在答題卡上用黑色碳素筆和直尺作圖），并證明這兩個平面平行；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設AC∩BD=O，連接OE，證明OE∥BD₁．通過直線與平面平行的判定定理證明BD₁∥平面ACE．
（2）取AA₁，CC₁中點M，N，連接MD₁，MB，BN，ND₁，利用面面平行的判定定理，可得結論．

解答：（1）證明：設AC∩BD=O，連接OE，
因為E是DD₁的中點，O是BD的中點，
所以OE∥BD₁．
又因為OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
所以BD₁∥平面ACE．
（2）存在．
取AA₁，CC₁中點M，N，連接MD₁，MB，BN，ND₁，
因為E是DD₁的中點，M是AA₁的中點，所以AE∥D₁E，
同理D₁N∥CE．
因為D₁E，D₁N?平面D₁MBN，AE，CE?平面ACE，
所以平面ACE∥平面D₁MBN．

點評：本題考查線面平行，考查面面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、面面平行的判定定理是關鍵．