Question

【題目】如圖，點A是以線段BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點E，點G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是圓O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，∴EB⊥BC．

又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

∴ ，得 ．

∵G是AD的中點，即DG=AG．

∴BF=EF

（2）證明：連接AO，AB．

∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜邊BE的中點，

∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．

又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．

∵BE是圓O的切線，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，由圓的切線判定定理，得PA是圓O的切線．

【解析】（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線．