Question

設z₁，z₂是兩個虛數，且z₁+z₂=-3，|z₁|+|z₂|=4．若θ₁=argz₁，θ₂=argz₂，求cos（θ₁-θ₂）的最大值．

Answer 1

分析：根據題意，設|z₁|=r，則|z₂|=4-r（0＜r＜4），根據arg的意義，可得z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），將其代入z₁+z₂=-3，可得

rcosθ1+(4-r)cosθ2=-3 rsinθ1+(4-r)sinθ2=0

，兩式平方相加，整理變形可得cos（θ₁-θ₂）與r的關系式，分析可得答案．

解答：解：設|z₁|=r，則|z₂|=4-r（0＜r＜4）．
將z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），代入z₁+z₂=-3，得

rcosθ1+(4-r)cosθ2=-3 rsinθ1+(4-r)sinθ2=0

兩式平方相加，得r²+（4-r）²+2r（4-r）（cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂）=9，
于是cos（θ₁-θ₂）=

9-r2-(4-r)2

2r(4-r)

=1+

7

2(r-2)2-8

，
當r=2時，cos（θ₁-θ₂）取最大值

1

8

．

點評：本題有一定的難度，注意根據題意中的條件，結合復數的三角表示方法進行解題．