Question

定義y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數(shù)f（x）=F（x，2）-3x，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C：y=f（x）的切線l，切點(diǎn)為P（n，t）（n＞0），設(shè)曲線C與l及y軸圍成圖形的面積為S，求S的值．
（Ⅱ）令函數(shù)g（x）=F（x，2）+alnx，討論函數(shù)g（x）是否有極值，如果有，說(shuō)明是極大值還是極小值．
（Ⅲ）證明：當(dāng)x，y∈N*且x＜y時(shí)，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（I）先確定切線方程，再利用定積分知識(shí)求面積；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（III）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，證明h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，1≤x＜y時(shí)，

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，從而可得結(jié)論．

解答：（I）解：∵y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
∴f（x）=x²-x+1，x∈（0，+∞），∴A（0，1），f′（x）=2x-1
∵過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C：y=f（x）的切線l，切點(diǎn)為P（n，t）（n＞0），
∴

t=n2-n+1 t n =2n-1

∴P（1，1），∴切線l的方程為y=x，
∴S=

∫

1 0

(x2-x+1)dx=

1

3

；
（II）解：∵g（x）=（1+x）²+alnx，x∈（0，+∞）
∴g′(x)=

2x2+2x+a

x

①△=4-8a≤0，即a≥

1

2

時(shí)，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而沒(méi)有極值；
②當(dāng)△=4-8a＞0即a＜

1

2

時(shí)，方程2x²+2x+a=0有二個(gè)不等實(shí)根x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，g′(x)=

2x2+2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

若0≤a＜

1

2

，則x₁＜0，x₂≤0，g'（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而沒(méi)有極值；
若a＜0，則x₁＜0，x₂＞0，函數(shù)在（0，x₂）上，g'（x）＜0，單調(diào)遞減，在（x₂，+）上，g'（x）＞0，單調(diào)遞增
∴x=x₂，g（x）有極小值，沒(méi)有極大值；
（III）證明：令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，則h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

令p（x）=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，則p′(x)=

-x

(1+x)2

＜0
∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴x＞0時(shí)，p（x）＜p（0）=0
∴x≥1時(shí)，h′（x）＜0
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減
∴1≤x＜y時(shí)，

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

∴yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴F（x，y）＞F（y，x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．