Question

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且，.

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）.

試題分析：（1）連結交于點，連結.由長度比例關系可知,得到.再根據線面平行的判定得到;（2）方法一：采用空間向量法，以點為坐標原點，為軸，垂直為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，那么點確定.再根據向量關系求出二面角的平面角的余弦值為；方法二：純幾何法，取的中點,延長交的延長線于點,根據三角形相似關系可以得到二面角的平面角為.
試題解析：（1）連結,交于點,連結， 
∵，， ∴
又 ∵, ∴
∴ 在△BPD中，
 
∴∥平面

（2）方法一：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系.

設，則，，，，．
設為平面的一個法向量，
則，，∴，
解得，∴．
設為平面的一個法向量，則，，
又，，∴，
解得，∴ 

∴二面角的余弦值為．
方法二：在等腰Rt中，取中點，連結，則 

∵面⊥面，面面=，∴平面．
在平面內，過作直線于，連結，由、，
得平面，故．
∴就是二面角的平面角．
在中，設，，，
，，
由，可知：∽，
∴，  代入解得：．
在中，，
∴，．
∴二面角的余弦值為．