Question

【題目】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）要證明平面，只需證明，即可；

（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.

（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，

則，，所以，

又為等邊三角形，則，所以，

，則，所以，

同理，又，所以平面；

（2）過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)?/span>平面，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，得，

所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由，得，令，得，

所以

故，

設(shè)二面角的大小為，則.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查線(xiàn)面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.