Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為.記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，求證：直線平行于軸.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為可得，即，化簡可得軌跡方程為；
（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立   得，求出直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為利用斜率可得 直線平行于軸；
方法二：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
直線的方程為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為所以軸；當(dāng)時，結(jié)論也成立，直線平行于軸得證.
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試題解析：（1）依題意：            2分
      4分
                6分
注：或直接用定義求解.
（2）設(shè)，直線的方程為
由   得           8分

直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為    10分

直線平行于軸.             13分
方法二：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
 直線的方程為
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.