Question

【題目】（附加題）對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的一個不動點．設函數f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．

（Ⅰ）當a=2，b=﹣2時，求f（x）的不動點；

（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的不動點x1，x2，

（ⅰ）當x1＜1＜x2時，設f（x）的對稱軸為直線x=m，求證：m＞；

（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）不動點為；（II）（i）詳見解析，（ii）。

【解析】

試題分析：（I）當時，，則由不動點的定義可有：，即，解得：或，所以函數的不動點為；（II）（i）函數的對稱軸為，若有兩個相異的不動點，即方程恒有兩個不等的實根，設函數，當時，有，即，由于，所以，則，即，問題得證；（ii）方程恒有兩個不等的實根，則應滿足，根據韋達定理有：，于是有，整理得：，所以，由于且，因此說明到對稱軸，且，即，所以得到，于是整理得到關于的一元二次不等式，所以可以求出的取值范圍。

試題解析：（Ⅰ）依題意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，

解得或1，即f（x）的不動點為和1；

（Ⅱ）（ⅰ） 由f （x）表達式得m=﹣，

∵g（x）=f （x）﹣x=a x2+（b﹣1）x+1，a＞0，

由x1，x2是方程f （x）=x的兩相異根，且x1＜1＜x2，

∴g（1）＜0a+b＜0﹣＞1﹣＞，即 m＞．

（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0（b﹣1）2＞4a，

x1+x2=，x1x2=，

∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2span>=（）2﹣=22，

∴（b﹣1）2=4a+4a2（*）

又|x1﹣x2|=2，

∴x1、x2 到 g（x） 對稱軸 x=的距離都為1，

要使g（x）=0 有一根屬于 （﹣2，2），

則 g（x） 對稱軸 x=∈（﹣3，3），

∴﹣3＜＜3a＞|b﹣1|，

把代入 （*） 得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，

解得：b＜或 b＞，

∴b 的取值范圍是：（﹣∞，）∪（ ，+∞）．