Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設二面角D﹣AE﹣C為60°，AP=1，AD= ，求三棱錐E﹣ACD的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O點，連接EO，
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB，
EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC；
（Ⅱ）解：延長AE至M連結DM，使得AM⊥DM，
∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∵二面角D﹣AE﹣C為60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E為PD的中點．AE=1，
∴DM= ，
CD= = ．
三棱錐E﹣ACD的體積為： = = ．

【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E﹣ACD的體積．