Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c和一次函數g（x）=﹣bx，其中a，b，c∈R且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）證明：函數f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點；
（2）若函數F（x）=f（x）﹣g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，

而a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，

∴△=4b2﹣4ac＞0；

因此函數f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點；

（2）解：由題意知，F（x）=ax2+2bx+c

∴函數F（x）的圖象的對稱軸方程為x=﹣ ，又∵a+b+c=0

∴x= =1+ ＜1

又a＞0

∴F（x）在[2，3]單增

∴ ，

即 ，

∴

【解析】（1）由已知中二次函數f（x）=ax2+bx+c和一次函數g（x）=﹣bx，分別求出a＞0，c＜0，易根據二次方程根的個數及△的關系，得到答案．（2）由題意可得F（x）=ax2+2bx+c，我們可根據二次函數在閉區間上的最值求法，結合函數F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值為21，構造關于a，b的方程，解方程即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．