Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，滿足關系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

1

(log2an)2

，求證：對任意正整數n，總有T_n＜2；
（Ⅲ）在正數數列{c_n}中，設(cn)n+1=

n+1

2n+1

an+1(n∈N*)，求數列{lnc_n}中的最大項

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．
（Ⅱ）對任意正整數n，總有bn=

1

(log2an)2

=

1

n2

.由此可知Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2．
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1 x •x-1nx

x2

=

1-lnx

x2

.再由函數的單調性可求出數列{lnc_n}中的最大項

解答：（Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2.（n≥2，n∈N^*）
即數列{a_n}是等比數列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）證明：∵對任意正整數n，總有bn=

1

(log2an)2

=

1

n2

.（6分）
∴Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2（9分）
（Ⅲ）解：由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1 x •x-1nx

x2

=

1-lnx

x2

.
∵在區間（0，e）上，f'（x）＞0，在區間（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在區間（e，+∞）上f（x）為單調遞減函數．（12分）
∴n≥2且n∈N^*時，|lnc_n|是遞減數列．
又lnc1＜lnc2，∴數列|lncn|中的最大項為lnc2=

1

3

ln3.（14分）

點評：本題考查數列知識的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件．