Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的實軸長、虛軸長、焦距成等差數列，則雙曲線的離心率是

5

3

．

Answer 1

分析：設焦距長為2c，根據雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的實軸長、虛軸長、焦距成等差數列，可得4

c2-a2

=2a+2c，整理可得3e²-2e-5=0，故可求雙曲線的離心率．

解答：解：設焦距長為2c
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的實軸長、虛軸長、焦距成等差數列
∴4

c2-a2

=2a+2c
∴2

c2-a2

=a+c
兩邊平方得4（c²-a²）=a²+2ac+c²
∴3c²-2ac-5a²=0
∴3e²-2e-5=0，解得e=

5

3

或e=-1（舍去）．
故答案為：

5

3

．

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質．在解雙曲線的離心率時，要注意雙曲線的離心率大于1．