Question

【題目】甲、乙、丙三人投籃的水平都比較穩定，若三人各自獨立地進行一次投籃測試，則甲投中而乙不投中的概率為 ，乙投中而丙不投中的概率為 ，甲、丙兩人都投中的概率為 ．
（1）分別求甲、乙、丙三人各自投籃一次投中的概率；
（2）若丙連續投籃5次，求恰有2次投中的概率；
（3）若丙連續投籃3次，每次投籃，投中得2分，未投中得0分，在3次投籃中，若有2次連續投中，而另外1次未投中，則額外加1分；若3次全投中，則額外加3分，記ξ為丙連續投籃3次后的總得分，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：記甲、乙、丙三人各自獨立地進行一次投籃測試投中的事件依次為A、B、C，由題設條件有：

= ， = ，P（AC）= ，即P（A）[1﹣P（B）]= ，①；P（B）[1﹣P（C）]= ，②P（A）P（C）= ，③．

由①③得P（B）=1﹣ P（C），代入②得27P（C）]2﹣51P（C）+22=0．

解得P（C）= 或P（C）= （舍去）．將P（C）= 分別代入②③可得P（A）= ，P（B）= ．

故甲、乙、丙三人各自投籃一次投中的概率分別是 ， ，

（2）解：丙連續投籃5次，恰有2次投中的概率為
（3）解：ξ可以取的值為0，2，4，5，9，可求得： ， ， ， ， ．

∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4	5	9
p

∴ξ期望為Eξ=0+ +5× +9× =

【解析】（1）記甲、乙、丙三人各自獨立地進行一次投籃測試投中的事件依次為A、B、C，由題設條件有： = ， = ，P（AC）= ，解出即可得出．（2）丙連續投籃5次，恰有2次投中的概率為 ，（3）ξ可以取的值為0，2，4，5，9，可求得： ， ， ， ， ．可得ξ的分布列及其數學期望．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．