Question

設f(x)＝lnx＋－1，證明：

（1）當x>1時，f(x)<  (x－1)；

（2）當1<x<3時，f(x)< .

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）見解析

【解析】證明：（1）(證法一)記g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).則當x>1時，

g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上單調遞減.

又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)<  (x－1).

(證法二)

由均值不等式，當x>1時，2 <x＋1，故< ＋.①

令k(x)＝lnx－x＋1，則k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，

故k(x)<0，即lnx<x－1.②

由①②得，當x>1時，f(x)<  (x－1).

（2）(證法一)記h(x)＝f(x)－，由（1）得

h′(x)＝＋－＝－< －＝.

令g(x)＝(x＋5)³－216x，則當1<x<3時，g′(x)＝3(x＋5)²－216<0.

因此g(x)在(1,3)內是遞減函數，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.

因此h(x)在(1,3)內是遞減函數，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是當1<x<3時，f(x)< .

(證法二)記h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，

則當1<x<3時，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9<  (x－1)＋(x＋5) －9

＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<

＝ (7x²－32x＋25)<0.

因此h(x)在(1,3)內單調遞減，又，所以，即.