Question

（05年湖南卷理）（14分）

    已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx，a≠0.

   （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

 

Answer 1

解析：（I），

則

因為函數h(x)存在單調遞減區間，所以<0有解.

又因為x>0時，則ax²+2x－1>0有x>0的解.

①當a>0時，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；

②當a<0時，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，而ax²+2x－1>0總有x>0的解；

  則△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.

  綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.

   （II）證法一  設點P、Q的坐標分別是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

         則點M、N的橫坐標為

         C₁在點M處的切線斜率為

         C₂在點N處的切線斜率為

         假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂.

         即，則

                 =

       所以  設則①

       令則

       因為時，，所以在）上單調遞增. 故

       則. 這與①矛盾，假設不成立.

       故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

證法二：同證法一得

       因為，所以

       令，得  ②

       令

       因為，所以時，

       故在[1，+上單調遞增.從而，即

       于是在[1，+上單調遞增.

       故即這與②矛盾，假設不成立.

       故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.