Question

（本小題滿分12分）已知在直角坐標系xoy中，曲線的參數方程為

（t為非零常數，為參數），在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為．

（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；

（Ⅱ）是否存在實數，使得直線與曲線C有兩個不同的公共點、，且

（其中o為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．

①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 

②當時，曲線C為中心在原點的橢圓．

（Ⅱ）不存在滿足題意的實數． 

【解析】(I)先把方程化成,然后再根據t²與1的關系進行討論.

（II）先求出直線l的普通方程為,然后再與曲線C的方程聯立消y得關于x的一元二次方程，由于,所以再借助韋達定理及判斷式來解此題.

解：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．

①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 

②當時，曲線C為中心在原點的橢圓．………………5分

（Ⅱ）直線的普通方程為：．聯立直線與曲線的方程，消得，

化簡得．若直線與曲線C有兩個不同的公共點，

 

，

解得．又 

故．

解得與相矛盾．  故不存在滿足題意的實數． ………………12分