【題目】某學校藝術專業(yè)300名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的300名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；
(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內的人數(shù)；
(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．
【答案】（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2
【解析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本中分數(shù)小于70的頻率，用頻率估計概率值；
（2）計算樣本中分數(shù)小于50的頻率和頻數(shù)，估計總體中分數(shù)在區(qū)間
，
內的人數(shù)；
（3）由題意計算樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)以及男生、女生人數(shù)，求男生和女生人數(shù)的比例．
解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4．
所以從總體的300名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計值為0.4．
（2）根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
故樣本中分數(shù)小于50的頻率為0.1，
故分數(shù)在區(qū)間[40，50)內的人數(shù)為100×0.1－5＝5．
所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內的人數(shù)估計為
．
（3）由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為
．
所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，
女生人數(shù)為100－60＝40，
男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2．
所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某商場從2018年1月份起的前這個月，顧客對某商品的需求總量，
（單位：件）與x的關系近似地滿足
（其中
，且
），該商品第x月的進貨單價
（單位：元）與x的近似關系是
．
（1）寫出2018年第x月的需求量
（單位：件）與x的函數(shù)關系式；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問該商場2018年第幾個月銷售該商品的月利潤
最大，最大月利潤為多少元？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖,直角三角形
所在的平面與半圓弧
所在平面相交于
,
，
,
分別為
,的中點, 
是上異于
,
的點, 
.
（1）證明:平面
平面
;
（2）若點為半圓弧上的一個三等分點(靠近點)求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
，函數(shù)
(1)討論函數(shù)
的單調性；
(2)若
是的極值點，且曲線
在兩點
，
處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
.
（1）設
是函數(shù)
的極值點，討論函數(shù)的單調性；
（2）若
有兩個不同的零點
和
，且
，
（i）求參數(shù)
的取值范圍；
（ii）求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取
個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：
等級 | 標準果 | 優(yōu)質果 | 精品果 | 禮品果 |
個數(shù) | 10 | 30 | 40 | 20 |
（1）若將頻率是為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取
個，求恰好有
個水果是禮品果的概率.（結果用分數(shù)表示）
（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.
方案
：不分類賣出，單價為
元
.
方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：
等級 | 標準果 | 優(yōu)質果 | 精品果 | 禮品果 |
售價(元/kg） | 16 | 18 | 22 | 24 |
從采購單的角度考慮，應該采用哪種方案？
（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取
個，再從抽取的個水果中隨機抽取
個，
表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學期望
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
設函數(shù)f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處于直線
相切，求函數(shù)f（x）在
上的最大值；
（2）當b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[1，
]，x∈[1，e2]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．
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