Question

已知平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與軌跡C相交于點A，B，l₂與軌跡C相交于點D，E，求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），根據兩點間距離公式和點到直線的距離公式，列方程，并化解即可求得動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設出直線l₁的方程，理想直線和拋物線的方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理，求出兩根之和和兩根之積，同理可求出直線l₂的方程與拋物線的交點坐標，代入

AD

•

EB

利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），由題意得

(x-1)2+y2

- |x|=1，
化簡得y²=2x+2|x|．
當x≥0時，y²=4x；當x＜0時，y=0，
所以動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零，設為k，則l₁的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率為-

1

k

．
設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
故

AD

•

EB

=(

AF

+

FD

)•(

EF

+

FB

)=

AF

•

EF

+

AF

•

FB

+

FD

•

EF

+

FD

•

FB

=|

AF|

•|

FB

|+|

FD|

•|

EF|

=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
1+2+

4

k2

+1+1+2+4k²+1=8+4（k²+

1

k2

）≥8+4×2=16，
當且僅當k²=

1

k2

，即k=±1時，

AD

•

EB

的最小值為16．

點評：此題是個難題．考查代入法求拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關系，同時也考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．