Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為，在軸負半軸上有一點，且

（1）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓C交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

1）由題意，得，所以 

又   由于，所以為的中點，

所以

所以的外接圓圓心為，半徑…………………3分

又過三點的圓與直線相切，

所以解得，

所求橢圓方程為 …………………………………………………… 6分

（2）有（1）知,設的方程為：

將直線方程與橢圓方程聯立

,整理得

設交點為，因為

則……………………………………8分

若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，

由于菱形對角線垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，則

，即

由已知條件知………………………11分

，故存在滿足題意的點且的取值范圍是 

【解析】略