Question

【題目】四邊形的頂點(diǎn)， ， ， ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（）此四邊形是否有外接圓，若有，求出外接圓的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（）記的外接圓為，過(guò)上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，設(shè)與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)、，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（）外接圓方程為 （）

【解析】試題分析：

（1）先求出過(guò)三點(diǎn)的圓，通過(guò)驗(yàn)證點(diǎn)D是否在此圓上來(lái)判斷四邊形是否有外接圓。（2）由（1）得的外接圓為的方程為，先求得，可得切線(xiàn)的斜率，切線(xiàn)方程為，整理得切線(xiàn)，然后求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，根據(jù)基本不等式可得，即為所求。

試題解析：

（）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的外接圓為，圓心，半徑為，

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意得 ，解得

∴ 圓，

驗(yàn)證可得點(diǎn)在圓上。

∴ 四邊形有外接圓，其方程為．

（）由（1）得的外接圓為的方程為。

由題意得，

∴ 切線(xiàn)的斜率，從而切線(xiàn)的方程為，

整理得，

又點(diǎn)在圓上，故，

∴ 切線(xiàn)，

令，得，∴ ，

令，得，∴ ，

∴ 面積，

∵ ，

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

即面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)．