Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為。⑴求橢圓的方程；⑵已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在的值，使以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）存在使得以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E。

解析試題分析：（1）直線方程為
依題意可得： 解得：
∴橢圓的方程為
（2）假設(shè)存在這樣的值。
由 得
∴
設(shè)
而
要使以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
則
即

將（2）代入（3）整理得
經(jīng)驗(yàn)證使得（1）成立
綜上可知，存在使得以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E。
考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)計(jì)算量大，對(duì)運(yùn)算能力要求很高，尋求簡(jiǎn)潔、合理的運(yùn)算途徑很重要，在解答時(shí)注意以下的轉(zhuǎn)化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則，要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類(lèi)問(wèn)題 ； ⑵與弦的重點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題求解常用方法一韋達(dá)定理法 二 點(diǎn)差法；