Question

【題目】設函數，R．

（Ⅰ）求函數在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意的實數，不等式恒成立，求實數的最大值；

（Ⅲ）設，若對任意的實數，關于的方程有且只有兩個不同的實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）-1（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ）求出函數在處的導數后可得切線方程．

（Ⅱ）參變分離后求函數的最小值可得的最大值．

（Ⅲ）因為，故無零根，參變分離后考慮的圖像與直線總有兩個不同的交點，從而得到實數的取值范圍．

（Ⅰ），. 且，所以在處的切線方程為.

（Ⅱ）因為對任意的實數，不等式恒成立.所以恒成立.

設，則

，

所以在，單調遞增，在，單調遞減.

所以，

因為，是方程的兩根.

所以

. （其中）

所以的最大值為.

（Ⅲ）若對任意的實數，關于的方程有且只有兩個不同的實根，

當，得，與已知矛盾.

所以有兩根，即與有兩個交點

令，則.

令，，則在單調遞減，單調遞增，所以.

（ⅰ）當時，即時，則，即在，單調遞增，且當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為.此時對任意的實數，原方程恒有且只有兩個不同的解.

（ⅱ）當時，有兩個非負根，，所以在，，單調遞增，單調遞減，所以當時有4個交點，或有3個交點，均與題意不合，舍去.

（ⅲ）當時，則有兩個異號的零點，，不妨設，則在，單調遞增；在，單調遞減.

當時，的取值范圍為，

當時，的取值范圍為，

所以當時，對任意的實數，原方程恒有且只有兩個不同的解.

所以有，，得.

由，得，即.

所以，，.

故

.所以.

所以當或時，原方程對任意實數均有且只有兩個解.