Question

【題目】已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，點M是直線y＝x與拋物線E在第一象限內的交點，且|MF|＝5．

（1）求拋物E的方程．

（2）直線l與拋物線E相交于兩點A，B，過點A，B分別作AA1⊥x軸于A1，BB1⊥x軸于B1，原點O到直線l的距離為1．求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y（2）

【解析】

（1）拋物線中到焦點的距離轉化為到準線的距離；

（2）由題意得直線的斜率存在且不為零，設直線方程，代入拋物線中，由根與系數的關系得到縱坐標的關系，原點到直線的距離得出斜率和截距的關系，求出距離，用縱坐標表示，再由二次函數求出最大值．

解：（1）設，，聯立方程組：解得：，

拋物線中，準線方程：，到焦點距離等于到準線的距離，，

，

解得：，

所以拋物線方程為：；

（2）由題意可得直線的斜率一定存在，

設的方程為：，，

原點到直線的距離為1得：，

，，，，

聯立方程組：得：，

，

即且，，

，，

而，

當時最大且為：，

即的最大值為：．