Question

【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥B1C；
（Ⅱ）求證：AC1∥平面B1CD

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 所以，CC1⊥AC．
因為BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）連接BC1 ， 交B1C于E．
因為直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，
所以側面BB1C1C為矩形，且E為B1C中點．
又D是AB中點，所以DE為△ABC1的中位線，所以DE∥AC1 ．
因為DE平面B1CD，AC1平面B1CD，
所以，AC1∥平面B1CD．

【解析】（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性質可得CC1⊥AC，從而得到AC⊥平面BB1C1C，進而得到AC⊥B1C．
（Ⅱ） 取B1C中點E，得到 DE為△ABC1的中位線，得到DE∥AC1 ， 由線面平行的判定定理證得AC1∥平面B1CD．