Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)證明：為等比數列；

(3)求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)解：當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，

整理得a4＝，

又a2＝，a3＝，

所以a4＝.

(2)證明：當n≥2時，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，

即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，

∴4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，

即an＋2＝an＋1－an(n≥2)．

經檢驗，當n＝1時，上式成立．

∵＝＝＝為常數，且a2－a1＝1，

∴數列是以1為首項，為公比的等比數列．

(3)解：由(2)知，an＋1－an＝ (n∈N*)，

等式兩邊同乘2n，

得2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N*)．

又20a1＝1，

∴數列{2n－1an}是以1為首項，2為公差的等差數列．

∴2n－1an＝2n－1，

即an＝ (n∈N*)．

則數列{an}的通項公式為an＝ (n∈N*)．