Question

【題目】（1）證明： ， ， 不可能成等差數列；

（2）證明： ， ， 不可能為同一等差數列中的三項．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）利用反證法，先假設成等差數列，得等量關系，再平方化簡得，這與事實矛盾，即假設不成立，（2）利用反證法，先假設成等差數列，得等量關系，消去公差得整數之間關系，根據無理數性質確定矛盾，否定假設.

試題解析：（1）假設， ， 成等差數列，則，

即，即，

因為，矛盾，所以， ， 不可能成等差數列．

（2）假設， ， 為同一等差數列中的三項，

則存在正整數， 滿足，

得，

兩邊平方得 ③，

由于③式左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數無理數，故假設不正確，

即， ， 不可能為同一等差數列中的三項．