Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）令函數是自然對數的底數，若函數有且只有一個零點，判斷與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2），理由見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）根據函數的單調性求出在上有唯一零點，由已知函數有且只有1個零點，則，得，令，故，求出的范圍即可.

解：（1）由已知，且，

當時，恒成立，則在上單調遞增；

當時，令得，，

則在上單調遞增，在上單調遞減.

（2），則，

則，則在上單調遞增，

又當，

故在上有唯一零點，

當，單調遞減；

，單調遞增

故為的最小值，

當，

由已知函數有且只有一個零點，則，

故，

則，

則，

得，

令，

故，

則，

故，

故在上遞減，

，

故在上有一個零點，在上無零點，

故.