Question

(本題滿分16分)(Ⅰ)試比較的大小；

     (Ⅱ)試比較nⁿ⁺¹與(n+1)ⁿ(n∈N₊)的大小，根據(Ⅰ)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)由于，，則；

            又，，則；

            所以. …………………………………………6分

(Ⅱ)當n=1,2時，有nⁿ⁺¹<(n+1)ⁿ.………………………………………8分

    當n≥3時，有n^n+!>(n+1)ⁿ. 證明如下：

    令，.

    又.

    ∴a_n+1>a_n即數列{a_n}是一個單調遞增數列.

    則a_n>a_n-1>…>a₃>1

    ∴即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. ……………………………………16分

另證：構造函數f(x)=(x≥3)，f(x)==，

      ∴f(x)=在[3,+∞為遞減函數，則f(n)>f(n+1)，

即，，∴，

即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ(n≥3時結論成立).

【解析】略