Question

已知函數，其中．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值．

Answer 1

（I）；（II）詳見解析.

試題分析：(I)求出導數即切線斜率，代入點斜式；(II)列表，依據參數分情況討論，求最值.
試題解析：（Ⅰ）解：的定義域為， 且 ．             2分
當時，，，
所以曲線在點處的切線方程為 ，
即 ．                                              4分
（Ⅱ）解：方程的判別式為．
（ⅰ）當時，，所以在區間上單調遞增，所以在區間
上的最小值是；最大值是．                    6分
（ⅱ）當時，令，得 ，或．                    
和的情況如下：

	↗		↘		↗

故的單調增區間為，；單調減區間為．
8分
① 當時，，此時在區間上單調遞增，所以在區間 
上的最小值是；最大值是．                    10分
② 當時，，此時在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以在區間上的最小值是 ．        11分
因為 ，
所以 當時，在區間上的最大值是；當時，在區間上的最大值是．                          12分
③ 當時，，此時在區間上單調遞減，
所以在區間上的最小值是；最大值是．14分
綜上，
當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是．