Question

設函數（，為常數）
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）若，證明：當時，.

Answer 1

①②見題解析

試題分析：（Ⅰ）求函數的導數,分類討論二次函數的零點情況,確定導函數的正負取值區間,進一步確定原函數的單調性. （Ⅱ）先把原不等式等價轉化為,由于我們只能運用求導的方法來研究這個函數的值域,而此函數由于求導后不能繼續判斷導函數的正負區間,故利用均值不等式進行放縮, 后,函數可以通過求導研究值域,且 恒成立是恒成立的充分條件,注意需要二次求導.
試題解析：（Ⅰ）的定義域為， ，
（1）當時，解得或；解得
所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減；
（2）當時，對恒成立，所以函數在上單調遞增；
（3）當時，解得或；解得
所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減. ……（6分）
（Ⅱ）證明:不等式等價于
因為， 所以 ，
因此    
令， 則
令得：當時，
所以在上單調遞減，從而. 即，
在上單調遞減，得:，
 當時，.. ……（12分）