Question

（1）已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，求

a

與

b

的夾角θ；
（2）設

OA

=（2，5），

OB

=（3，1），

OC

=（6，3），在

OC

上是否存在點M，使

MA

⊥

MB

，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61求出

a

•

b

=-6然后再利用向量的夾角公式cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

再結合＜

a

，

b

＞∈[0，π]即可求出

a

與

b

的夾角θ．
（2）假設存在點M符合題意則可設

OM

=λ

OC

=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)即M（6λ，3λ）從而求出

MA

，

MB

再根據

MA

⊥

MB

利用向量數量積的坐標計算再結合0＜λ≤1即可求出λ進而求出點M．

解答：解：（1）∵（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61
∴4

a

2-4

a

•

b

-3

b

2=61
又∵|

a

|=4，|

b

|=3
∴

a

•

b

=-6．…3分
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

1

2

∴θ=120°．…6分
（2）設存在點M，且

OM

=λ

OC

=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)
∴

MA

=(2-6λ，5-3λ)，

MB

=(3-6λ，1-3λ)．…8分
∵

MA

⊥

MB

∴

MA

•

MB

=0
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=

1

3

或λ=

11

15

∴

OM

=(2，1)或

OM

=(

22

5

，

11

5

)
∴存在M（2，1）或M(

22

5

，

11

5

)滿足題意．…16分．

點評：本題主要考查了利用數量積求向量的夾角，屬常考題，較易．解題的關鍵是熟記向量的夾角公式cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

同時要注意＜

a

，

b

＞∈[0，π]這一隱含條件以及

MA

⊥

MB

的等價條件

MA

•

MB

=0!