Question

（1）動直線y=a與拋物線y²=（x－2）相交于A點，動點B的坐標是（0，3a），求線段AB中點M的軌跡C的方程；

（2）過點D（2，0）的直線l交上述軌跡C于P、Q兩點，E點坐標是（1，0），若△EPQ的面積為4，求直線l的傾斜角α的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：設M點的坐標為（x，y），由點A的坐標為（2a2+2，a），B點的坐標為（0，3a），得. ∴軌跡C的方程為x=+1， 即y2=4（x－1）； （2）解法一：設直線l的方程為y=k（x－2），因l與拋物線有兩個交點，故k≠0，得x=+2，代入y2=4（x－1），得y2－y－4=0， 故Δ=+16＞0恒成立. 記這個方程的兩實根為y1、y2，則 |PQ|=|y1－y2|=. 又點E到直線l的距離 d=. ∴△EPQ的面積為S△EPQ=|PQ|·d=. 由=4，解得k2=，∴k=±. ∴α=或α=. 解法二：設直線l的方程為y=k（x－2），代入y2=4（x－1），得 k2x2－（4k2+4）x+4k2+4=0. 因直線l與拋物線有兩個交點，故k≠0， 而Δ=16（k2+1）＞0恒成立. 記這個方程的兩個實根為x1、x2，因拋物線y2=4（x－1）的焦點是D（2，0），準線是x=0. 所以|PQ|=x1+x2=. 其余同解法一. 解法三：設直線l的方程為y=k（x－2），因為直線與拋物線交于兩點，所以k≠0，則x=+2，代入y2=4（x－1）得y2－y－4=0. S△EPQ=S△EPD+S△EQD=|ED|·（|y1|+|y2|）=|ED|·|y1－y2| =·1· =. ∵S△EPQ=4， ∴=4. 得k=±，α=或.