Question

已知函數(shù)圖象與直線相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.
（1）求函數(shù)的表達(dá)式和直線的方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式對(duì)定義域內(nèi)的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;(3) .

解析試題分析：（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程斜率，再利用點(diǎn)斜式求出方程．（2）利用導(dǎo)數(shù)和分別求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fc/0/1gcim2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以
所以   2分，所以，所以切點(diǎn)為（1，1），所以
所以直線的方程為          4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4d/e/vopfn1.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/69/6/gneob4.png" style="vertical-align:middle;" />所以由得 6分
由得        7分
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為    8分
（3）令，則得
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)       10分
，所以      11分
所以當(dāng)在的定義域內(nèi)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是     12分.
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.