Question

【題目】已知數列 的前 項和為 ，并且滿足 ， .

（1）求數列 通項公式；

（2）設 為數列 的前 項和，求證： .

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據題意得到， ，兩式做差得到；（2）根據第一問得到，由錯位相減法得到前n項和，進而可證和小于1.

解析：

（1）∵

當 時，

當時， ，即

∴數列 時以 為首項， 為公差的等差數列.

∴ .

（2）∵

∴ ①

②

由① ②得

∴

點睛：這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法；數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知 ， 分別是橢圓 ： （ ）的左、右焦點， 是橢圓 上的一點，且 ，橢圓 的離心率為 .

（1）求橢圓 的標準方程；

（2）若直線 ： 與橢圓 交于不同兩點 ， ，橢圓 上存在點 ，使得以 ， 為鄰邊的四邊形 為平行四邊形（ 為坐標原點）.

（ⅰ）求實數 與 的關系；

（ⅱ）證明：四邊形 的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)①② 四邊形 的面積為定值，且定值為

【解析】試題分析：（1）根據題意得到， ，橢圓的標準方程為；（2）聯立直線和橢圓方程得到二次方程，根據題意得到，由韋達定理得到P點坐標，再根據點在橢圓上得到參數值關系；（3）先由弦長公式得到，由點線距得到三角形高度，再根據四邊形面積公式，進而得到定值.

解析：

（1）依題意， ，即 .

又 ，∴

∴

故橢圓的標準方程為

（2）（ⅰ）由 消 得 .

則

設 ， ，則 ， .

∴

∵四邊形 為平行四邊形.

∴

∴點 坐標為

∵點 在橢圓 上，

∴ ，整理得

（ⅱ）∵

又點 到直線 ： 的距離為

∴四邊形 的面積

故四邊形 的面積為定值，且定值為 .